Aula 02.1 - Conceitos de Probabilidade

O objetivo deste texto é introduzir o conceitos de Probabilidade, suas variáveis e propriedades. 

A Teoria da Probabilidade estuda eventos aleatórios, (eventos que não possuem regularidade determinística, mas possuem regularidade estatística). A ausência de regularidade determinística significa que observações feitas nas mesmas condições não dão o mesmo resultado, enquanto a regularidade estatística se manifesta na estabilidade estatística de frequências.

Figura 01 - Experimento aleatório
com regularidade estatística.

No lançamento de um dado, apesar de a trajetória do dado ser determinística do ponto de vista da mecânica Newtoniana, é impraticável tentar prever seu resultado: este experimento não possui regularidade determinística. 

No entanto, esse experimento possui regularidade estatística e o tratamento probabilístico é o mais adequado. 

Um Espaço de Probabilidade, ou Modelo Probabilístico, ou ainda Modelo Estatístico, é uma abstração matemática, é uma idealização que busca representar os fenômenos aleatórios. Os conceitos básicos de probabilidade estão definidos abaixo.

1. Experimento Aleatório é um experimento no qual: i) todos os possíveis resultados são conhecidos; ii) resulta num valor desconhecido, dentre todos os resultados possíveis; iii) pode ser repetido em condições idênticas.
2. Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis para um experimento aleatório. É denotado pela letra grega "ômega" W. O espaço amostral pode ser: Discreto Finito: formado por um conjunto finito de pontos; Discreto Infinito: conjunto infinito e enumerável de pontos; Contínuo: formado por um conjunto Não Enumerável de pontos.
3. Um Evento é um subconjunto de W, associado a um experimento. É denotado por letras maiúsculas: A, B, C, D, E, . . .

Os eventos que ocorrem em um experimento aleatório pode ser classificados como:

1. Eventos Independentes - Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um evento não influência na probabilidade de ocorrência do outro evento. 
2. Um Evento Complementar: denotado por A^c é o complementar de A em relação a W, ou seja, A^c È A = W. 
3. Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se: A Ç B = Æ.
4. Eventos dependentes - Dois eventos A e B são dependentes quando a ocorrência de um evento influência na probabilidade de ocorrência do outro evento. 

Exemplo 01 - Eventos Independentes - Imagine o lançamento de um dado em que um jogador precisa obter no primeiro lançamento A = { 2 }; e no segundo lançamento B = { 5 }. Claramente o primeiro lançamento não interfere no segundo.

Exemplo 02 - Eventos Complementares - Imagine o lançamento de um dado se um jogador obter no primeiro lançamento A = { 1 }. é porque não saiu  A^c = { 2, 3, 4, 5, 6 }.

Exemplo 03 - Eventos disjuntos - Imagine o lançamento de uma moeda o jogador obter cara no primeiro lançamento é porque não saiu coroa.

Exemplo 04 - Um dado equilibrado é lançado e seu número é observado. O espaço amostral  é: W = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Sejam as possibilidades de eventos: 

1. Evento A = O número observado é menor ou igual a 4, então, A = { 1, 2, 3, 4 }; 
2. Evento B = O número observado é par, B = { 2, 4, 6 };
3. Evento C = O número observado é ímpar, C = { 1, 3, 5 }. 

Então, temos: A Ç B = { 2, 4 } e A Ç C = { 1, 3 }; Como B Ç C = Æ, temos então que : B e C são disjuntos pois B^c = C, pois B È C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = W. 

Num modelo em que os resultados são equiprováveis, o espaço amostral é um conjunto finito  e a medida de probabilidade é proporcional à quantidade de resultados que fazem parte de um dado evento: P (B)  = B / W, onde B denota a cardinalidade do conjunto B está contido em W, isto é, a quantidade de elementos que pertencem a B.

Exemplo 05 - Imagine o lançamento de um dado em que um jogador precisa obter 5 ou 6. 
Neste caso temos o  espaço amostral W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e o evento  D = {5, 6};
Calculamos a probabilidade do ocorrer o evento:  P(D) =  D / W = 2 / 6 = 1/3 = 33%.

Figura 02: tipos de Naipes.

Exemplo 06 - Imagine o sorteio de uma carta em um baralho francês com 52 cartas (espaço amostral), numeradas A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K e de a tipos de naipes conforme ilustrado. Queremos saber a probabilidade de um jogador tirar: 4 de Paus, 7 de Copas , Ás de Espada ou 7 Ouro.
O evento que será denotado por E. Temos então: P(E) =  E / W =  4 / 52 = 1/13 = 8%.

Probabilidade é a medida de quão provável é que um evento aconteça dentre todos os resultados possíveis. Calcular probabilidades permite usar a lógica e o raciocínio até mesmo com certo grau de incerteza.

1 -Calcular probabilidade de um único evento aleatório

Este cálculo diz respeito à possibilidade de que um ou mais eventos aconteçam dividida pelo número de resultados possíveis. 

Figura 01 - Probabilidade de único evento

Exemplo 1.1: Digamos que você queira descobrir a probabilidade de obter um "três" em um dado de seis lados?

Resposta: No caso de obter um três com o dado, a quantidade de eventos é igual a um (há apenas um três por dado) e a quantidade de resultados possíveis é igual a seis. Você também pode pensar nisso como sendo 1 ÷ 6, 1/6, 0,166… ou 16,6%. 

Exemplo 1.2: Qual a probabilidade de escolher um dia que caia em um fim de semana, ao escolher um dia da semana aleatório?

Resposta: A quantidade de eventos é igual a dois (uma vez que apenas dois dos sete dias fazem parte do fim de semana) e a quantidade de resultados possíveis é igual a sete. A probabilidade será igual a 2 ÷ 7 = 2/7, 0,285 ou 28,5%.

Exemplo 1.3: Um recipiente contém 4 bolinhas de gude azuis, 5 vermelhas e 11 brancas. Se uma das bolinhas de gude for tirada do recipiente aleatoriamente, qual a probabilidade de que ela seja vermelha?

Resposta: A quantidade de eventos é igual a cinco (uma vez que há apenas cinco bolinhas de gude vermelhas) e a quantidade de resultados possíveis é igual a 20. A probabilidade será igual a 5 ÷ 20 = 1/4, 0,25 ou 25%.

2 - Calculando a probabilidade de múltiplos eventos aleatórios

Calcular a probabilidade de eventos múltiplos é uma questão de dividir o problema em probabilidades separadas e Multiplicar as probabilidades ambos os eventos entre si. Isso lhe dará a probabilidade de eventos múltiplos ocorrendo um após o outro.

Figura 02 - Probabilidade de múltiplos eventos

Exemplo 2.1: Qual a probabilidade de obter dois cinco consecutivos com um dado de seis lados?
Você sabe que a probabilidade de obter um cinco é igual a 1/6 — a probabilidade de obter outro cinco com o mesmo dado é também igual a 1/6. Esses são eventos independentes, porque o que você obtém na primeira vez não afeta o que acontece na segunda — você pode obter um três e, a seguir, obter novamente um três.
Resposta: A probabilidade de cada evento independente é igual a 1/6. Isso nos dá 1/6 × 1/6 = 1/36, 0,027 ou 2,7%.
Exemplo 2.2: Duas cartas são extraídas aleatoriamente de um baralho. Qual a probabilidade de que ambas sejam do naipe de paus?
A probabilidade de que a primeira carta seja do naipe de paus é igual a 13/52, ou 1/4 (há 13 cartas de cada naipe em todos os baralhos). Agora, a probabilidade de que a segunda carta também seja do mesmo naipe será igual a 12/51.
Você está mensurando a probabilidade de eventos dependentes. Isso acontece porque o que é feito na primeira vez afeta o que acontece na segunda — se você tira um 3 de paus e não a coloca de volta, haverá uma carta de paus a menos no baralho (51 em vez de 52).
Resposta: A probabilidade de o primeiro evento acontecer é igual a 13/52. A probabilidade de o segundo evento acontecer é igual a 12/51. Logo, a probabilidade de que ambos ocorram consecutivamente será igual a 13/52 × 12/51 = 12/204, 1/17 ou 5,8%.
Exemplo 2.3: Um recipiente contém 4 bolinhas de gude azuis, 5 vermelhas e 11 brancas. Se três bolinhas de gude forem tiradas do recipiente, aleatoriamente, qual a probabilidade de que a primeira seja vermelha, a segunda seja azul e a terceira, branca?
A probabilidade de que a primeira bolinha de gude seja vermelha é igual a 5/20, ou 1/4. A probabilidade de que a segunda bolinha de gude seja azul é igual a 4/19, uma vez que temos uma a menos (mas não uma azul a menos). E, por fim, a probabilidade de que a terceira bolinha de gude seja branca é igual a 11/18, porque já retiramos duas. Essa é outra medida de um evento dependente.
Resposta: A probabilidade de o primeiro evento acontecer é igual a 5/20, ou 1/4. A probabilidade de o segundo evento acontecer é igual a 4/19. Logo, a probabilidade de que ambos ocorram consecutivamente será igual a 5/20 × 4/19 × 11/18 = 44/1.368, ou 3,2%.

© Direitos de autor. 2018: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 02/02/2018